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经典练习

发布者: 王伟 | 发布时间: 2011-4-29 10:02| 查看数: 3318| 评论数: 0|帖子模式

已知直线y=2x-4与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线过点A,C和另一点B(-1,0).
(1)求此抛物线的解析式,并画出它的图象;
(2)在直线AC上求一点P,使以点A,B,P为顶点的三角形与△AOC相似;
(3)设抛物线的顶点为M,在抛物线上是否存在点Q,使△ABQ的面积等于△AMC的面积的4倍?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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解:(1)令x=0,则y=-4;令y=0,则2x-4=0,从而x=2,
∴A点坐标为(2,0),C点坐标为(0,-4);
∵抛物线过点A(2,0),B(-1,0),
∴y=a(x-2)(x+1),(2分)
又抛物线过点C(0,-4),
∴a•(-2)×1=-4,
∴a=2;(3分)
∴所求抛物线的解析式为y=2(x-2)(x+1)=2x2-2x-4.(4分)
∵ = ,
∴它的图象如图所示;(5分)

(2)∵△AOC是直角三角形,且|OA|=2,|OC|=4,
所作三角形必须是直角三角形,且两直角边的比是1:2;
①如图,过点B作BP1⊥x轴,交直线AC于P1,(6分)
则由BP1∥OC知Rt△ABP1∽Rt△AOC;
∴P1点的横坐标是-1,
∴P1点的纵坐标是y=2×(-1)-4=-6;
∴P1点的坐标是(-1,-6).(7分)
②∵|OA|=2,|OC|=4,
∴ ;
作BP2⊥AC于P2,如图,(8分)
∵∠AOC=90°,∠AP2B=90°,又∠CAO=∠BAP2,
∴Rt△AOC∽Rt△AP2B;
∴ ,
∴ ;
作P2H⊥AB于H,则Rt△AP2H∽Rt△ABP2;
∴ ,
∴ ;
∴ ;(9分)
把 代入y=2x-4,得 ;
∴P2点的坐标为 ;
∴在直线AC上存在两点P1(-1,-6), ,使△ABP与△AOC相似.(10分)

(3)∵抛物线的顶点是 ,
∴它的对称轴是直线 .(11分)
假设在抛物线y=2x2-2x-4上存在点Q,使S△ABQ=4S△AMC;
设点Q的坐标为(x0,y0),对称轴与x轴交于 ,
则S△AMC=S四边形AOCM-S△AOC=S△AFM+S梯形FOCM-S△AOC
= = ;(12分)
又△ABQ的面积S△ABQ满足S△ABQ=4S△AMC

∴ ,
∴|y0|=4,
∴y0=±4;(13分)
当y0=4时,2x2-2x-4=4,即x2-x-4=0,
解之得 ;
当y0=-4时,2x2-2x-4=-4即2x2-2x=0,
解之得x=0或x=1;
因此,在抛物线y=2x2-2x-4上存在点Q,使S△ABQ=4S△AMC,此时点Q的坐标为 , ,
(0,-4),(1,-4).

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